17. Сторона ромба равна 13, а диагональ равна 10. Найдите площадь ромба.

Решение:

Пусть сторона ромба \( a = 13 \) и одна из диагоналей \( d_1 = 10 \).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. В этом треугольнике гипотенуза равна стороне ромба \( a \), а катеты равны половинам диагоналей \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).

Половина первой диагонали: \( \frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Используем теорему Пифагора:

\( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( 13^2 = 5^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( 169 = 25 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{144} = 12 \)

Тогда вторая диагональ \( d_2 = 2 \cdot 12 = 24 \).

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)

Подставим значения диагоналей:

\( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120 \)

Ответ: 120