13. Решите неравенство 6х - х² > 0. В ответе укажите наибольшее целое решение данного неравенства.

Решение:

Решим неравенство \( 6x - x^2 > 0 \).

1. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(6 - x) > 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(6 - x) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).
3. Эти корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 6) \) и \( (6; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(6 - x) \) на каждом интервале:
   • Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(6 - (-1)) = -1(7) = -7 < 0 \).
   • Для \( 0 < x < 6 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(6 - 1) = 1(5) = 5 > 0 \).
   • Для \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( 7(6 - 7) = 7(-1) = -7 < 0 \).
5. Неравенство \( x(6 - x) > 0 \) выполняется на интервале \( (0; 6) \).
6. Наибольшее целое число, принадлежащее интервалу \( (0; 6) \), это 5.

Ответ: 5