17. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

1. Определяем данные:

• Расстояние AB = 80 км.
• Скорость течения реки $$v_{тек} = 2$$ км/ч.
• Плот плыл до момента возвращения яхты в А.
• За это время плот прошел 22 км.
• Яхта отправилась на 2 часа позже плота.

2. Находим время, которое плот был в пути:

Скорость плота равна скорости течения реки, так как он плывет по течению.

$$v_{плот} = v_{тек} = 2$$ км/ч.

Время в пути для плота $$t_{плот} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{22 ext{ км}}{2 ext{ км/ч}} = 11$$ часов.

3. Находим время, которое яхта была в пути:

Яхта отправилась на 2 часа позже плота, значит, она была в пути на 2 часа меньше.

$$t_{яхты} = t_{плот} - 2 ext{ часа} = 11 - 2 = 9$$ часов.

4. Определяем время, которое яхта потратила на путь из А в В и обратно:

Яхта вернулась в А, то есть прошла расстояние от В до А. Значит, она прошла путь туда и обратно.

Путь туда (из А в В) = 80 км.

Путь обратно (из В в А) = 80 км.

Общий путь яхты = 80 + 80 = 160 км.

5. Находим скорость яхты в неподвижной воде:

Скорость яхты по течению: $$v_{яхты ext{ по теч}} = v_{яхты} + v_{тек} = v_{яхты} + 2$$.

Скорость яхты против течения: $$v_{яхты ext{ против тек}} = v_{яхты} - v_{тек} = v_{яхты} - 2$$.

Время в пути яхты $$t_{яхты} = \frac{\text{путь туда}}{v_{яхты ext{ по теч}}} + \frac{\text{путь обратно}}{v_{яхты ext{ против тек}}}$$.

\[ 9 = \frac{80}{v_{яхты} + 2} + \frac{80}{v_{яхты} - 2} \]

6. Решаем уравнение относительно $$v_{яхты}$$:

Приводим к общему знаменателю:

\[ 9 = \frac{80(v_{яхты} - 2) + 80(v_{яхты} + 2)}{(v_{яхты} + 2)(v_{яхты} - 2)} \]

\[ 9 = \frac{80v_{яхты} - 160 + 80v_{яхты} + 160}{v_{яхты}^2 - 4} \]

\[ 9 = \frac{160v_{яхты}}{v_{яхты}^2 - 4} \]

\[ 9(v_{яхты}^2 - 4) = 160v_{яхты} \]

\[ 9v_{яхты}^2 - 36 = 160v_{яхты} \]

\[ 9v_{яхты}^2 - 160v_{яхты} - 36 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение относительно $$v_{яхты}$$ (используя дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$):

$$a = 9, b = -160, c = -36$$.

$$D = (-160)^2 - 4(9)(-36) = 25600 + 1296 = 26896$$.

$$\[ \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \]$$.

\[ v_{яхты} = \frac{-(-160) \pm 164}{2 \cdot 9} = \frac{160 \pm 164}{18} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень:

\[ v_{яхты} = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} \]

\[ v_{яхты} = 18 \]

7. Проверка:

Скорость яхты в неподвижной воде = 18 км/ч.

Скорость по течению = 18 + 2 = 20 км/ч.

Скорость против течения = 18 - 2 = 16 км/ч.

Время в пути туда: $$\frac{80}{20} = 4$$ часа.

Время в пути обратно: $$\frac{80}{16} = 5$$ часов.

Общее время яхты: 4 + 5 = 9 часов. Это соответствует условию.

Ответ:

18