17. Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению.

Решение:

Пусть \( v_{лод} \) — собственная скорость лодки (км/ч), \( v_{тек} \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_{по теч} = v_{лод} + v_{тек} \).

Скорость лодки против течения: \( v_{против теч} = v_{лод} - v_{тек} \).

Из условия задачи известно: \( v_{тек} = 3 \) км/ч.

Время в пути: \( t = 1 \) ч.

Расстояние по течению: \( S_{по теч} = 5 \) км.

Расстояние против течения: \( S_{против теч} = 6 \) км.

Время движения по течению: \( t_{по теч} = \frac{S_{по теч}}{v_{лод} + v_{тек}} = \frac{5}{v_{лод} + 3} \).

Время движения против течения: \( t_{против теч} = \frac{S_{против теч}}{v_{лод} - v_{тек}} = \frac{6}{v_{лод} - 3} \).

Общее время в пути: \( t_{по теч} + t_{против теч} = 1 \).

\( \frac{5}{v_{лод} + 3} + \frac{6}{v_{лод} - 3} = 1 \)

Приведем к общему знаменателю \( (v_{лод} + 3)(v_{лод} - 3) = v_{лод}^2 - 9 \).

\( 5(v_{лод} - 3) + 6(v_{лод} + 3) = v_{лод}^2 - 9 \)

\( 5v_{лод} - 15 + 6v_{лод} + 18 = v_{лод}^2 - 9 \)

\( 11v_{лод} + 3 = v_{лод}^2 - 9 \)

\( v_{лод}^2 - 11v_{лод} - 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4(1)(-12) = 121 + 48 = 169 \).

\( v_{лод} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2} \).

\( v_{лод1} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) (км/ч).

\( v_{лод2} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) (км/ч). Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень отбрасываем.

Собственная скорость лодки \( v_{лод} = 12 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v_{по теч} = v_{лод} + v_{тек} = 12 + 3 = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.