17. Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Давай разберемся. У нас есть окружность с центром O и касательные AO и BO (по условию, касательные в точках A и B, значит, точки касания A и B лежат на окружности, а отрезки OA и OB — это радиусы, проведенные в точки касания).

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит:

• Угол OAB = 90°
• Угол OBA = 90°

Точки пересечения касательных в условии не указаны, поэтому предположим, что речь идет о точках пересечения касательных, проведенных к окружности в точках A и B, и эти касательные пересекаются в некоторой точке, назовем ее P. Тогда угол APB = 72°.

Рассмотрим четырехугольник PAOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

• Угол AOB + Угол OAP + Угол APB + Угол PBO = 360°
• Угол AOB + 90° + 72° + 90° = 360°
• Угол AOB + 252° = 360°
• Угол AOB = 360° - 252°
• Угол AOB = 108°

Теперь рассмотрим треугольник AOB. В этом треугольнике OA = OB (это радиусы окружности).

Значит, треугольник AOB — равнобедренный. Углы при основании OAB и OBA равны.

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.

• Угол OAB + Угол OBA + Угол AOB = 180°
• 2 * Угол OBA + 108° = 180°
• 2 * Угол OBA = 180° - 108°
• 2 * Угол OBA = 72°
• Угол OBA = 72° / 2
• Угол OBA = 36°

Угол ABO — это тот же самый угол OBA.

Ответ: 36