15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Решение:

Пусть \( A \) — данная точка, а \( a \) — данная прямая. Проведём из точки \( A \) перпендикуляр \( AH \) к прямой \( a \) и любую наклонную \( AK \), где \( H \) и \( K \) — точки на прямой \( a \), и \( H \neq K \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AHK \)

\( \angle AHK = 90^{\circ} \) (так как \( AH \) — перпендикуляр).

\( AK \) — гипотенуза этого треугольника, а \( AH \) — один из катетов.

Свойство катета прямоугольного треугольника: Катет всегда меньше гипотенузы.

Следовательно, \( AH < AK \).

Это верно для любой наклонной \( AK \), проведённой из точки \( A \) к прямой \( a \).

Ответ: Перпендикуляр меньше любой наклонной.