17 Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 22° и 116°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Диагональ образует с боковой стороной угол \( 22^{\circ} \). Следовательно, углы при меньшем основании равны \( 22^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \) (углы, прилежащие к одной боковой стороне). Угол \( 116^{\circ} \) дан как угол между диагональю и боковой стороной, что не соответствует условию задачи, так как при боковой стороне сумма углов трапеции равна \( 180^{\circ} \).

Пусть \( \angle CAD = 22^{\circ} \) и \( \angle ACD = 116^{\circ} \), где \( AC \) — диагональ, \( CD \) — большее основание, \( AD \) — боковая сторона. Так как трапеция равнобедренная, \( BC = AD \).

В треугольнике \( ACD \), \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 116^{\circ} = 42^{\circ} \). Это угол при меньшем основании.

Угол при большем основании \( \angle BCD = \angle ACD = 116^{\circ} \).

Сумма углов при меньшем основании равна \( 42^{\circ} + 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Сумма углов при большем основании равна \( 116^{\circ} + 116^{\circ} = 232^{\circ} \).

Проверка: \( 84^{\circ} + 232^{\circ} = 316^{\circ} \), что неверно. Сумма углов четырехугольника равна \( 360^{\circ} \).

Рассмотрим другой вариант: углы при большем основании составляют \( x \), а при меньшем — \( y \). Тогда \( x + y = 180^{\circ} \). Диагональ образует с боковой стороной угол \( 22^{\circ} \). Значит, один из углов при меньшем основании равен \( 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \), что невозможно, так как углы при основании трапеции острые или прямые.

Вернемся к условию: углы между диагональю и боковыми сторонами равны \( 22^{\circ} \). Если диагональ образует с боковой стороной угол \( 22^{\circ} \), то это угол при меньшем основании. Значит, углы при меньшем основании равны \( 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \) (с другой боковой стороной). Это противоречие.

Пусть \( \angle DAC = 22^{\circ} \). Угол при большем основании \( \angle BCD = 116^{\circ} \). Так как трапеция равнобедренная, \( \angle ADC = \angle BCD = 116^{\circ} \). Тогда в \( \triangle ACD \) угол \( \angle CAD = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle ACD = 180^{\circ} - 116^{\circ} - 116^{\circ} \), что невозможно.

Единственный разумный вариант: диагональ с боковой стороной — \( 22^{\circ} \), а с большим основанием — \( 116^{\circ} \). Пусть \( \angle CAD = 22^{\circ} \) и \( \angle ACD = 116^{\circ} \). Углы при большем основании трапеции равны \( 116^{\circ} \). Значит, \( \angle BCD = 116^{\circ} \). В \( \triangle ACD \), \( \angle ADC = 180^{\circ} - 116^{\circ} - 22^{\circ} = 42^{\circ} \). Это угол при меньшем основании.

Угол при большем основании трапеции равен \( 116^{\circ} \).

Ответ: 116.