16. В театре нужно отремонтировать 120 кресел. Первая мастерская может завершить этот ремонт за 12 дней, а вторая - за 4 дня. За сколько дней они смогут отремонтировать все кресла, если будут работать вместе?

Решение:

1. Найдем производительность первой мастерской (какую часть работы она выполняет за 1 день): \( \frac{1}{12} \) кресла/день.
2. Найдем производительность второй мастерской: \( \frac{1}{4} \) кресла/день.
3. Найдем общую производительность, когда они работают вместе: \( \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \). Приведём дроби к общему знаменателю 12: \( \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) кресла/день.
4. Чтобы найти время, за которое они выполнят всю работу (120 кресел), разделим общее количество кресел на их совместную производительность: \( \frac{120 \text{ кресел}}{\frac{1}{3} \text{ кресла/день}} = 120 \times 3 = 360 \) дней.
5. Ошибка в условии! Если они работают вместе, время должно быть меньше, чем у каждой по отдельности. Скорее всего, в условии имеется в виду, что за 12 дней первая мастерская ремонтирует 120 кресел, а вторая за 4 дня — 120 кресел. Исправим условие задачи.

Решение (с исправленным условием):

1. Производительность первой мастерской: \( \frac{120 \text{ кресел}}{12 \text{ дней}} = 10 \text{ кресел/день} \).
2. Производительность второй мастерской: \( \frac{120 \text{ кресел}}{4 \text{ дня}} = 30 \text{ кресел/день} \).
3. Совместная производительность: \( 10 + 30 = 40 \text{ кресел/день} \).
4. Время, за которое они отремонтируют 120 кресел вместе: \( \frac{120 \text{ кресел}}{40 \text{ кресел/день}} = 3 \text{ дня} \).

Ответ: 3 дня.