16. Тип 16 № 351311 i) На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 54 и ВС = 36. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Радиус окружности с центром А равен АС = 54.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром окружности (А), точкой касания (С) и внешней точкой (В). В данном случае, точка касания не указана, но по условию задачи, касательная проводится из точки В к окружности с центром А, проходящей через С. Следовательно, АС является радиусом. Треугольник АСВ не является прямоугольным, так как С лежит на отрезке АВ.

По теореме о касательной и секущей, если из точки В проведены касательная ВТ к окружности с центром А и секущая, проходящая через А и С, то ВТ² = ВА * ВВ. Однако, в данном случае, точка С лежит на отрезке АВ, и окружность проходит через С. Это означает, что В не является внешней точкой для касательной, если С находится между А и В.

Перечитав условие: "Построена окружность с центром А, проходящая через С". Это значит, что радиус равен АС = 54. Точка В находится на расстоянии АВ = АС + СВ = 54 + 36 = 90 от центра А. Отрезок касательной из точки В к окружности с центром А будет перпендикулярен радиусу в точке касания (обозначим ее Т). Треугольник АТВ будет прямоугольным с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора: АТ² + ВТ² = АВ². Так как АТ - радиус, АТ = 54. 54² + ВТ² = 90². ВТ² = 90² - 54² = 8100 - 2916 = 5184. ВТ = √5184 = 72.

Ответ: 72