16. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 40°, ∠2 = 55°

Решение:

Так как прямые \( m \) и \( n \) параллельны, то сумма углов \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) равна углу \( \angle 3 \), потому что они являются односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Однако, на рисунке \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) не являются односторонними. Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \) (назовем его \( \angle 2' \)), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Поэтому \( \angle 1 = \angle 2' \).

Найдем \( \angle 2' \):

• \( \angle 2' = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \)

Так как \( \angle 1 \) и \( \angle 2' \) должны быть равны, но \( 40^{\circ}
e 125^{\circ} \), на рисунке обозначены углы, которые не соответствуют условию параллельности прямых \( m \) и \( n \) при данных значениях \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \).

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются соответственными углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Тогда \( \angle 3 = \angle 1 = 40^{\circ} \).

Предположим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Тогда \( \angle 3 = \angle 2 = 55^{\circ} \).

Судя по расположению углов на рисунке, \( \angle 3 \) является внутренним односторонним углом с углом, смежным с \( \angle 2 \), или соответственным углом с \( \angle 1 \).

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) соответственные, то \( \angle 3 = \angle 1 = 40^{\circ} \).

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) накрест лежащие, то \( \angle 3 = \angle 2 = 55^{\circ} \).

Однако, если \( m \parallel n \), то \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - соответственные углы. Значит \( \angle 3 = \angle 1 \).

Ответ: 40°.