15. В треугольнике АВС угол А равен 30°, угол В равен 45°, ВС=18√2. Найдите АС.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

Где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

У нас есть:

• \( \angle A = 30^\circ \)
• \( \angle B = 45^\circ \)
• \( BC = 18\sqrt{2} \)

Сначала найдем угол C:

\( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \).

Теперь применим теорему синусов, чтобы найти AC (сторона \( b \)):

\( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)

\( \frac{18\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \)

Известно, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим значения:

\( \frac{18\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

\( 18\sqrt{2} · 2 = AC · \frac{2}{\sqrt{2}} \)

\( 36\sqrt{2} = AC · \frac{2}{\sqrt{2}} \)

Выразим AC:

\( AC = 36\sqrt{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( AC = \frac{36 · 2}{2} \)

\( AC = 36 \).

Ответ: 36.