15. В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 4√6. Найдите АС.

Задание 15. Треугольник ABC

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, так как у нас известны два угла и одна сторона, а найти нужно другую сторону.

Дано:

• В треугольнике ABC:


• Угол \( A = 45^\circ \)


• Угол \( B = 60^\circ \)


• Сторона \( BC = 4\sqrt{6} \)

Найти: сторону \( AC \).

Решение:

1. Сначала найдем третий угол треугольника, угол \( C \). Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \]

\[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

1. Теперь применим теорему синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов треугольника:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

В нашем случае это:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Нам нужно найти \( AC \). Выразим \( AC \):

\[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \]

\[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \]

Теперь подставим значения синусов:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим выражение:

\[ AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} \]

\[ AC = \frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \]

\[ AC = 4\sqrt{\frac{18}{2}} \]

\[ AC = 4\sqrt{9} \]

\[ AC = 4 \cdot 3 \]

\[ AC = 12 \]

Ответ: 12