15. Найдите решение (хо; Уо) системы уравнений и вычислите значение произведения хо · Уо.

У нас есть система уравнений:

\(\begin{cases}\) |x-3| - y = 3 \\ x - 2y = 6 \(\end{cases}\)

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x = 2y + 6$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$| (2y+6) - 3 | - y = 3$$

$$| 2y + 3 | - y = 3$$

$$| 2y + 3 | = y + 3$$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $$2y + 3 ≥ 0$$, то есть $$y ≥ -3/2$$.

В этом случае $$|2y+3| = 2y+3$$.

$$2y + 3 = y + 3$$

$$2y - y = 3 - 3$$

$$y = 0$$

Проверим условие $$y ≥ -3/2$$: $$0 ≥ -3/2$$, что верно.

Найдем $$x$$:

$$x = 2y + 6 = 2(0) + 6 = 6$$

Проверим первое уравнение: $$|6-3| - 0 = |3| = 3$$. Верно.

Получили решение $$(x_0, y_0) = (6, 0)$$.

Случай 2: $$2y + 3 < 0$$, то есть $$y < -3/2$$.

В этом случае $$|2y+3| = -(2y+3) = -2y - 3$$.

$$-2y - 3 = y + 3$$

$$-3 - 3 = y + 2y$$

$$-6 = 3y$$

$$y = -2$$

Проверим условие $$y < -3/2$$: $$-2 < -3/2$$, что верно.

Найдем $$x$$:

$$x = 2y + 6 = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$$

Проверим первое уравнение: $$|2-3| - (-2) = |-1| + 2 = 1 + 2 = 3$$. Верно.

Получили решение $$(x_0, y_0) = (2, -2)$$.

В задании просят вычислить значение произведения $$x_0 · y_0$$. У нас есть два возможных решения. По условию задания, если решений несколько, то обычно выбирается одно. В вариантах ответа есть -2 и -4. Если взять решение (2, -2), то произведение будет $$2 · (-2) = -4$$. Если взять решение (6, 0), то произведение будет $$6 · 0 = 0$$.

Посмотрим на варианты ответа: 1) -1, 2) 0, 3) -2, 4) -4. Варианты 0 и -4 присутствуют.

Чаще всего, в подобных заданиях, если есть несколько решений, подразумевается выбор того, которое приводит к одному из предложенных вариантов ответа. В данном случае, произведение $$x_0 · y_0 = 2 · (-2) = -4$$.

Ответ: 4) -4