15. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть AD — медиана и высота треугольника ABC. Так как AD — медиана, D — середина BC, следовательно, BD = DC. Так как AD — высота, AD ⟂ BC, поэтому ∠ADB = ∠ADC = 90°.

В прямоугольных треугольниках ABD и ACD равны катеты AD (общий) и BD = DC. Следовательно, треугольники равны, а их гипотенузы AB и AC равны.

Значит, ABC равнобедренный с основанием BC.