15. Диагональ АС ромба ABCD равна 48, а tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов.

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \).

\( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BOC \):

\[ \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{7}{24} = \frac{BO}{24} \]

Отсюда \( BO = 7 \).

Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 7 = 14 \).

Найдем сторону ромба \( BC \) по теореме Пифагора в \( △ BOC \):

\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \]

\[ BC = \sqrt{625} = 25 \]

Площадь ромба можно найти двумя способами:

1. Через диагонали: \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336 \).

2. Через сторону и высоту (где высота — удвоенный радиус вписанной окружности): \( S = a \cdot h \).

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине высоты \( h \) ромба. \( h = 2r \).

\[ S = BC \cdot (2r) \]

\[ 336 = 25 \cdot (2r) \]

\[ 336 = 50r \]

\[ r = \frac{336}{50} = \frac{168}{25} = 6.72 \]

Ответ: 6.72