14. В правильной призме $ABCD A_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $\sqrt6$. Через точку $A_1$ перпендикулярно плоскости $AB_1D_1$ проведена прямая $l$. а) Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении 2 : 1. б) Найдите угол между прямыми $l$ и $CD_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. В правильной призме $ABCD A_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно 2, а сторона основания равна…$ Фото задания

14. В правильной призме $ABCD A_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $\sqrt6$. Через точку $A_1$ перпендикулярно плоскости $AB_1D_1$ проведена прямая $l$. а) Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении 2 : 1. б) Найдите угол между прямыми $l$ и $CD_1$.

Accepted Answer

Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(s,0,0)$, $D=(0,s,0)$, $C=(s,s,0)$, где $s=\sqrt6$; верхние вершины имеют координату $z=2$.

Плоскость $AB_1D_1$ содержит векторы $\overrightarrow{AB_1}=(s,0,2)$ и $\overrightarrow{AD_1}=(0,s,2)$. Нормаль к этой плоскости пропорциональна их векторному произведению $(-2s,-2s,s^2)$, то есть $(-2,-2,\sqrt6)$. Поэтому прямая $l$, проходящая через $A_1=(0,0,2)$, задаётся направляющим вектором $(-2,-2,\sqrt6)$.

а) Точки прямой имеют координаты $(-2t,-2t,2+\sqrt6t)$. Чтобы попасть на $AC$, где $x=y$ и $z=0$, нужно взять $t=-\frac{2}{\sqrt6}$. Тогда точка пересечения равна $(\frac{4}{\sqrt6},\frac{4}{\sqrt6},0)=\frac23 C$. Значит, если $P=l\cap AC$, то $AP:PC=2:1$.

б) Направляющий вектор прямой $CD_1$ равен $\overrightarrow{CD_1}=(-s,0,2)$. Скалярное произведение с направляющим вектором $l$: $(-2,-2,\sqrt6)\cdot(-\sqrt6,0,2)=4\sqrt6$. Длины векторов равны $\sqrt{14}$ и $\sqrt{10}$. Поэтому $\cos\theta=\frac{4\sqrt6}{\sqrt{140}}=\frac{2\sqrt{210}}{35}$, где $\theta$ — острый угол между прямыми.

Ответ: а) $AP:PC=2:1$; б) $\theta=\arccos\!\left(\frac{2\sqrt{210}}{35}\right)$.