13. а) Решите уравнение \(\cos 2x+\sin 2x+1=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}]\).

а) Используем тождество \(\cos 2x+1=2\cos^2x\) и \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(2\cos^2x+2\sin x\cos x=2\cos x(\cos x+\sin x)=0\).

Отсюда либо \(\cos x=0\), либо \(\cos x+\sin x=0\).

В первом случае \(x=\frac\pi2+\pi k\), во втором \(\tan x=-1\), поэтому \(x=-\frac\pi4+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([3\pi;\frac{9\pi}{2}]\): из первого семейства получаем \(x=\frac{7\pi}{2},\frac{9\pi}{2}\); из второго — \(x=\frac{15\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac\pi2+\pi k\) или \(x=-\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{7\pi}{2},\frac{15\pi}{4},\frac{9\pi}{2}\).