14. У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 416 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 7 см?

Решение:

Пусть \( h_n \) — высота, на которую подлетит попрыгунчик после \( n \)-го отскока.

Начальная высота после первого отскока: \( h_1 = 416 \) см.

Каждый следующий отскок уменьшает высоту в 2 раза. Это геометрическая прогрессия с первым членом \( h_1 = 416 \) и знаменателем \( q = 0.5 \).

Формула для \( n \)-го члена: \( h_n = h_1 · q^{n-1} \).

Нам нужно найти \( n \), при котором \( h_n < 7 \) см.

\( h_n = 416 · (0.5)^{n-1} < 7 \)

\[ (0.5)^{n-1} < \frac{7}{416} \]

\[ (0.5)^{n-1} < \frac{1}{59.43} … \]

Перечислим высоты после каждого отскока:

• 1-й отскок: \( h_1 = 416 \) см
• 2-й отскок: \( h_2 = 416 / 2 = 208 \) см
• 3-й отскок: \( h_3 = 208 / 2 = 104 \) см
• 4-й отскок: \( h_4 = 104 / 2 = 52 \) см
• 5-й отскок: \( h_5 = 52 / 2 = 26 \) см
• 6-й отскок: \( h_6 = 26 / 2 = 13 \) см
• 7-й отскок: \( h_7 = 13 / 2 = 6.5 \) см

После 7-го отскока высота станет 6.5 см, что меньше 7 см.

Ответ: 7