13. Укажите решение неравенства 19х–х² ≤ 0:

Решение:

Решим неравенство \( 19x - x^2 ≤ 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(19 - x) ≤ 0 \]

Найдем корни уравнения \( x(19 - x) = 0 \):

\[ x_1 = 0 \]

\[ 19 - x = 0 ⇒ x_2 = 19 \]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах. Парабола \( y = -x^2 + 19x \) имеет ветви, направленные вниз.

Интервалы: \( (-∞; 0] \), \( [0; 19] \), \( [19; +∞) \).

Знак на интервалах:

• \( x < 0 \): \( x(19-x) \) → \( (-) · (+) = (-) \)
• \( 0 < x < 19 \): \( x(19-x) \) → \( (+) · (+) = (+) \)
• \( x > 19 \): \( x(19-x) \) → \( (+) · (-) = (-) \)

Нам нужно, где \( ≤ 0 \), то есть отрицательные значения и ноль. Это интервалы \( (-∞; 0] \) и \( [19; +∞) \).

Ответ: 4) \( (-∞; 0] ∪ [19; +∞) \).