13. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ рёбра BC, BA и диагональ B₁C₁ равны соответственно 6, 6 и 3√5. Найдите объём параллелепипеда.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) известно:

• \( BC = 6 \)
• \( BA = 6 \)
• \( B_1C_1 = 3\sqrt{5} \)

По свойствам прямоугольного параллелепипеда, противоположные грани являются прямоугольниками. Следовательно, \( B_1C_1 = BC = 6 \) и \( A_1B_1 = AB = 6 \).

В прямоугольнике \( BCC_1B_1 \), \( B_1C_1 \) является диагональю. Но по условию \( B_1C_1 \) — это ребро.

В условии сказано \( BC=6 \), \( BA=6 \). Это длины сторон основания. \( B_1C_1 \) — это длина ребра, которая равна \( BC \). Значит \( B_1C_1 = 6 \).

Если \( B_1C_1 = 3\sqrt{5} \) — это диагональ грани \( BCC_1B_1 \), то в прямоугольном треугольнике \( BCC_1 \):

\( BC^2 + CC_1^2 = B_1C_1^2 \)

\( 6^2 + CC_1^2 = (3\sqrt{5})^2 \)

\( 36 + CC_1^2 = 9 · 5 \)

\( 36 + CC_1^2 = 45 \)

\( CC_1^2 = 45 - 36 \)

\( CC_1^2 = 9 \)

\( CC_1 = 3 \)

Высота параллелепипеда \( CC_1 = AA_1 = BB_1 = DD_1 = 3 \).

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин трёх его измерений:

\( V = AB · BC · CC_1 \)

\( V = 6 · 6 · 3 \)

\( V = 36 · 3 \)

\( V = 108 \)

Ответ: 108.