13. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника

Теорема:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно его медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник △ABC, у которого AB = AC (AB и AC — боковые стороны, BC — основание). Пусть AD — биссектриса, проведённая к основанию BC.

Дано:

• △ABC — равнобедренный.
• AB = AC.
• AD — биссектриса угла A, D ∈ BC.

Доказать:

1. AD — медиана, то есть BD = DC.
2. AD — высота, то есть AD ⊥ BC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △ABD и △ACD.
2. У них:
• AB = AC (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• ∠BAD = ∠CAD (по условию, так как AD — биссектриса).
• AD — общая сторона.
3. По первому признаку равенства треугольников, △ABD = △ACD.
4. Из равенства треугольников следует:
• BD = DC. Это значит, что AD является медианой, так как она делит основание BC пополам.
• ∠ADB = ∠ADC.
5. Так как ∠ADB и ∠ADC являются смежными (лежат на прямой BC), их сумма равна 180°.
6. Так как ∠ADB = ∠ADC, то каждый из них равен 180° / 2 = 90°.
7. Следовательно, AD ⊥ BC. Это значит, что AD является высотой.

Вывод: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.