13. а) Решите уравнение \(\cos 2x-\sqrt2\cos\left(\frac\pi2+x\right)+1=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]\).

а) Так как \(\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin x\), уравнение принимает вид:

\[\cos2x+\sqrt2\sin x+1=0.\]

Используем формулу \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\[1-2\sin^2x+\sqrt2\sin x+1=0,\]

\[2\sin^2x-\sqrt2\sin x-2=0.\]

Отсюда \(\sin x=\sqrt2\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). Значение \(\sin x=\sqrt2\) невозможно, поэтому

\[\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.\]

Общее решение:

\[x=-\frac\pi4+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,\]

или

\[x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.\]

б) На отрезке \(\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем корни:

\[x=-\frac{17\pi}{4},\qquad x=-\frac{19\pi}{4}.\]

Ответ: а) \(x=-\frac\pi4+2\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{19\pi}{4},-\frac{17\pi}{4}\).