10. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(\omega=60^\circ/\text{мин}\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=6^\circ/\text{мин}^2\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позднее того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет \(3375^\circ\). Определите время после начала работы лебёдки, не позднее которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Подставим данные в формулу угла поворота:

\[3375=60t+\frac{6t^2}{2}=60t+3t^2.\]

Получаем квадратное уравнение:

\[3t^2+60t-3375=0,\qquad t^2+20t-1125=0.\]

\[D=20^2+4\cdot1125=4900,\qquad \sqrt D=70.\]

\[t=\frac{-20+70}{2}=25\text{ мин}\] (отрицательный корень не подходит).

Ответ: 25 минут.