12. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что AC=76 и BC=BM. Найдите АН.

Краткое пояснение:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. Используем это свойство и теорему Пифагора.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим тип треугольника АВС. Так как ВМ — медиана, и ВМ = 0.5 * АС (поскольку АС = 76, то 0.5 * АС = 38, а ВМ = ВС, что также равно 38), то треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом В.
2. Шаг 2: Найдем длину ВН. В прямоугольном треугольнике ВН — высота, проведенная к гипотенузе. По теореме Пифагора в треугольнике ВНС:
   $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
   Из условия $$BC=BM$$, а $$BM$$ - медиана, значит $$BM = AC/2 = 76/2 = 38$$. Следовательно, $$BC=38$$.
   В прямоугольном треугольнике ВНС: $$38^2 = BH^2 + HC^2$$.
3. Шаг 3: Найдем АН. В прямоугольном треугольнике АВС, $$BH^2 = AH imes HC$$. Также $$AB^2 = AH imes AC$$ и $$BC^2 = HC imes AC$$.
   Из $$BC^2 = HC imes AC$$, имеем $$38^2 = HC imes 76$$.
   $$HC = 38^2 / 76 = 1444 / 76 = 19$$.
4. Шаг 4: Так как $$AC = AH + HC$$, то $$76 = AH + 19$$.
   $$AH = 76 - 19 = 57$$.

Ответ: 57