12. Упростите выражение: 8/a-1 - 15/(a-1)^2 - 3a+3/a^2-1

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю. Знаменатель \( a^2 - 1 \) можно разложить как \( (a-1)(a+1) \). Общий знаменатель для всех дробей будет \( (a-1)^2(a+1) \).

Первая дробь:

\[ \frac{8}{a-1} = \frac{8(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)} = \frac{8(a^2-1)}{(a-1)^2(a+1)} \]

Вторая дробь:

\[ \frac{15}{(a-1)^2} = \frac{15(a+1)}{(a-1)^2(a+1)} = \frac{15a + 15}{(a-1)^2(a+1)} \]

Третья дробь:

\[ \frac{3a+3}{a^2-1} = \frac{3a+3}{(a-1)(a+1)} = \frac{(3a+3)(a-1)}{(a-1)^2(a+1)} = \frac{3a^2 - 3a + 3a - 3}{(a-1)^2(a+1)} = \frac{3a^2 - 3}{(a-1)^2(a+1)} \]

Теперь вычтем вторую и третью дроби из первой:

\[ \frac{8(a^2-1) - (15a + 15) - (3a^2 - 3)}{(a-1)^2(a+1)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{8a^2 - 8 - 15a - 15 - 3a^2 + 3}{(a-1)^2(a+1)} \]

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\[ \frac{(8a^2 - 3a^2) - 15a + (-8 - 15 + 3)}{(a-1)^2(a+1)} = \frac{5a^2 - 15a - 20}{(a-1)^2(a+1)} \]

Вынесем общий множитель 5 из числителя:

\[ \frac{5(a^2 - 3a - 4)}{(a-1)^2(a+1)} \]

Разложим квадратный трёхчлен \( a^2 - 3a - 4 \) на множители. Корни уравнения \( a^2 - 3a - 4 = 0 \) равны 4 и -1. Значит, \( a^2 - 3a - 4 = (a-4)(a+1) \).

\[ \frac{5(a-4)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)} \]

Сократим \( (a+1) \) (при условии \( a \neq -1 \)):

\[ \frac{5(a-4)}{(a-1)^2} \]

Ответ: \( \frac{5(a-4)}{(a-1)^2} \).