№12. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.

Решение задачи №12

Описание:

Когда равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны, образуется тело, состоящее из двух конусов с общим основанием. Высота каждого конуса равна половине стороны треугольника, а радиус общего основания равен высоте треугольника, опущенной на сторону, вокруг которой происходит вращение.

Пусть сторона треугольника равна \( a \).

1. Находим высоту треугольника:

Высота равностороннего треугольника \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

2. Радиус общего основания конусов:

Радиус основания каждого конуса равен высоте треугольника, опущенной на сторону вращения: \( r = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

3. Высоты конусов:

Так как треугольник равносторонний, сторона \( a \) делится высотой \( h \) пополам. Следовательно, высота каждого конуса равна \( H = \frac{a}{2} \).

4. Объем одного конуса:

Формула объема конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 H \).

Подставим значения: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3a^2}{4}\right) \left(\frac{a}{2}\right) = \frac{3\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{8} \).

5. Общий объем тела вращения:

Тело состоит из двух таких конусов, поэтому общий объем равен удвоенному объему одного конуса:

\( V_{тела} = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{\pi a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{4} \).

Ответ: Объем полученного тела вращения равен \( \frac{\pi a^3}{4} \).