12. (2 балла) Скорость движения точки v(t) = 9t² - 8 м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 3 секунды с начала движения.

Решение:

Для нахождения пути, пройденного точкой, необходимо проинтегрировать функцию скорости \( v(t) \) по времени от 0 до 3 секунд.

Формула для пути \( S(t) \): \( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \)

1. Подставим функцию скорости: \( S = \int_{0}^{3} (9t^2 - 8) dt \)
2. Вычислим определённый интеграл: \( S = \left[ \frac{9t^3}{3} - 8t \right]_{0}^{3} \)
3. Упростим: \( S = \left[ 3t^3 - 8t \right]_{0}^{3} \)
4. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \( S = (3 · 3^3 - 8 · 3) - (3 · 0^3 - 8 · 0) \)
5. Вычислим: \( S = (3 · 27 - 24) - 0 \)
6. \( S = (81 - 24) \)
7. \( S = 57 \)

Ответ: 57 м.