11. Найти синус угла СВА:

Решение:

Для определения синуса угла \( ∠CBA \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками B, A и точкой на сетке, где пересекаются вертикаль из B и горизонталь из A. Однако, на чертеже точки C, B, A не образуют явный прямоугольный треугольник, и синус угла \( ∠CBA \) определить напрямую сложно.

Предположим, что сетка соответствует координатной плоскости. Если точка B имеет координаты \( (0,0) \), то точка A находится на оси X. Пусть A = \( (3,0) \) (3 клетки вправо). Точка C имеет координаты \( (2,3) \) (2 клетки вправо, 3 клетки вверх).

Угол \( ∠CBA \) — это угол между вектором \( →BA \) и вектором \( →BC \).
Вектор \( →BA = A - B = (3-0, 0-0) = (3, 0) \).
Вектор \( →BC = C - B = (2-0, 3-0) = (2, 3) \).

Найдем косинус угла между векторами по формуле: \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \).

\( →BA \cdot →BC = (3)(2) + (0)(3) = 6 \).

\( |\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \).

\( |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

\( \cos(\u2220CBA) = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \).

Теперь найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).

\( \sin^2(\u2220CBA) = 1 - \cos^2(\u2220CBA) = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{13} = \frac{13 - 4}{13} = \frac{9}{13} \).

\( \sin(\u2220CBA) = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \).

Ответ: \( \frac{3\sqrt{13}}{13} \)