105. Докажите, что выражение 3x⁴ (6-8x)-6x³ (3x-4x²+x³) принимает неположительные значения при всех значениях х.

105. Доказательство неположительности значения выражения:

Выражение:

\[ 3x^4(6 - 8x) - 6x^3(3x - 4x^2 + x^3) \]

Шаг 1: Раскроем скобки

\[ (18x^4 - 24x^5) - (18x^4 - 24x^5 + 6x^6) \]

\[ = 18x^4 - 24x^5 - 18x^4 + 24x^5 - 6x^6 \]

Шаг 2: Приведем подобные слагаемые

\[ (18x^4 - 18x^4) + (-24x^5 + 24x^5) - 6x^6 \]

\[ = 0 + 0 - 6x^6 \]

\[ = -6x^6 \]

Анализ:

Мы получили выражение -6x⁶.

• Любое число, возведенное в четную степень (в данном случае 6), дает неотрицательный результат. То есть, x⁶ ≥ 0 для всех действительных x.

• При умножении неотрицательного числа (x⁶) на отрицательное число (-6) результат будет неположительным (меньше или равен нулю). То есть, -6x⁶ ≤ 0.

Вывод: Значение выражения -6x⁶ всегда меньше или равно нулю (неположительно) при любых значениях x. Следовательно, исходное выражение принимает неположительные значения при всех значениях x.

Ответ: Доказано.