10. В классе учится 26 человек, из них 12 человек посещают танцевальный кружок, а 16 — театральный кружок. Укажите номера истинных утверждений.

Краткое пояснение:

Анализ утверждений:

Всего учеников в классе: 26.

Посещают танцевальный кружок (Т): 12 человек.

Посещают театральный кружок (Р): 16 человек.

Пусть x — количество учеников, посещающих оба кружка.

Тогда количество учеников, посещающих только танцевальный кружок: 12 - x.

Количество учеников, посещающих только театральный кружок: 16 - x.

Сумма учеников, посещающих хотя бы один кружок: (12 - x) + (16 - x) + x = 28 - x.

Общее количество учеников в классе равно 26. Следовательно, 28 - x ≤ 26.

Отсюда, x ≥ 2.

Также, x ≤ 12 (не может быть больше тех, кто ходит на танцы) и x ≤ 16 (не может быть больше тех, кто ходит в театр).

Таким образом, 2 ≤ x ≤ 12.

1) Каждый ученик класса посещает либо танцевальный кружок, либо театральный кружок.

Это утверждение истинно, если количество учеников, не посещающих ни один кружок, равно 0. В нашем случае 28 - x = 26, значит x = 2. В этом случае, 12-2=10 (только танцы) и 16-2=14 (только театр). 10+14+2=26. Значит, это утверждение может быть истинным, если x=2.

2) Найдутся хотя бы четверо учеников, которые посещают театральный кружок, но не посещают танцевальный кружок.

Количество учеников, посещающих только театральный кружок, равно 16 - x. Если x=12 (максимальное значение), то 16 - 12 = 4. Если x=2 (минимальное значение), то 16 - 2 = 14. Так как 14 > 4, то всегда найдется хотя бы четверо учеников, посещающих только театральный кружок. Утверждение истинно.

3) Среди учеников, посещающих театральный кружок, найдётся хотя бы один, посещающий танцевальный кружок.

Это означает, что x ≥ 1. Мы уже определили, что x ≥ 2. Следовательно, это утверждение истинно.

4) Найдутся трое учеников, посещающих оба кружка.

Это утверждение истинно, если x = 3. Так как 2 ≤ x ≤ 12, возможно, что x=3. Однако, это не гарантировано. Например, если x=2, то это утверждение ложно. Утверждение должно быть истинным для любого допустимого значения x. Поскольку x может быть не равным 3, это утверждение не является всегда истинным. Если бы спрашивалось, могут ли найтись трое учеников, то ответ был бы да. Но вопрос в том, «найдутся», что подразумевает обязательное наличие.

Оценка утверждений:

1) Утверждение истинно, если x=2.

2) Утверждение истинно, так как 16-x ≥ 16-12 = 4.

3) Утверждение истинно, так как x ≥ 2.

4) Утверждение не является всегда истинным, так как x может быть не равным 3.

Истинные утверждения: 2 и 3.

Если мы предполагаем, что все ученики посещают хотя бы один кружок (т.е. x=2), то все утверждения (1, 2, 3) будут истинными. Однако, условие не гарантирует, что нет учеников, не посещающих кружки.

Давайте пересмотрим задачу, предполагая, что возможны ученики, не посещающие кружки.

12 (Танцы) + 16 (Театр) = 28

28 - 26 = 2 человека посещают оба кружка (x=2).

1) Каждый ученик класса посещает либо танцевальный кружок, либо театральный кружок. Истинно, так как 12+16-2 = 26.

2) Найдутся хотя бы четверо учеников, которые посещают театральный кружок, но не посещают танцевальный кружок.

Только театр: 16 - 2 = 14. 14 >= 4. Истинно.

3) Среди учеников, посещающих театральный кружок, найдётся хотя бы один, посещающий танцевальный кружок.

Посещают оба кружка: 2. 2 >= 1. Истинно.

4) Найдутся трое учеников, посещающих оба кружка.

Посещают оба кружка: 2. 2 < 3. Ложно.

Таким образом, истинные утверждения: 1, 2, 3.

Перепроверим логику. Если 12+16 = 28, а всего учеников 26, то 28-26=2 ученика посещают оба кружка.

1. Все посещают хотя бы один кружок. Да, 26 человек. Истинно.

2. Хотя бы четверо посещают только театр. Всего театр - 16. Оба - 2. Только театр - 16-2=14. 14 >= 4. Истинно.

3. Хотя бы один из театралов ходит на танцы. Всего театралов - 16. Из них 2 ходят и на танцы. 2 >= 1. Истинно.

4. Трое посещают оба кружка. На самом деле 2. Ложно.

Вывод: Истинные утверждения 1, 2, 3.