10. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=38° и ∠ACB=74°. Найдите ∠DCB. Ответ дайте в градусах.

Задание 10. Треугольник ABC

Дано:

• \( AD = AC \)
• \( \angle CAB = 38^\circ \)
• \( \angle ACB = 74^\circ \)

Найти: \( \angle DCB \)

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. Так как \( AD = AC \), то он является равнобедренным.
2. Углы при основании равны: \( \angle ADC = \angle ACD \).
3. Сумма углов в треугольнике ABC: \( \angle ABC = 180^\circ - \angle CAB - \angle ACB = 180^\circ - 38^\circ - 74^\circ = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \).
4. Теперь найдем \( \angle ACD \) в треугольнике ADC.
5. \( \angle ACD = \angle ACB - \angle DCB \).
6. В равнобедренном треугольнике ADC: \( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ \).
7. \( \angle CAD = \angle CAB = 38^\circ \).
8. \( 38^\circ + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ \).
9. Так как \( \angle ADC = \angle ACD \), то \( 38^\circ + 2 \cdot \angle ACD = 180^\circ \).
10. \( 2 \cdot \angle ACD = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \).
11. \( \angle ACD = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ \).
12. Теперь мы можем найти \( \angle DCB \):
13. \( \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD = 74^\circ - 71^\circ = 3^\circ \).

Ответ: 3