10. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

1. Пусть \(v\) — собственная скорость теплохода (в км/ч).
2. Скорость теплохода по течению: \(v + 3\) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \(v - 3\) км/ч.
4. Время в пути по течению: \(t_1 = \frac{108}{v+3}\) часов.
5. Время в пути против течения: \(t_2 = \frac{84}{v-3}\) часов.
6. Общее время в пути: \(t_1 + t_2 = 8\) часов.
7. Составим уравнение: \(\frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8\).
8. Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения: \(\frac{27}{v+3} + \frac{21}{v-3} = 2\).
9. Приведём к общему знаменателю \((v+3)(v-3) = v^2 - 9\): \(\frac{27(v-3) + 21(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 2\).
10. Раскроем скобки в числителе: \(27v - 81 + 21v + 63 = 2(v^2 - 9)\).
11. Приведём подобные: \(48v - 18 = 2v^2 - 18\).
12. Перенесём всё в одну сторону: \(2v^2 - 48v = 0\).
13. Вынесем общий множитель \(2v\): \(2v(v - 24) = 0\).
14. Возможные решения: \(2v = 0 \rightarrow v = 0\) или \(v - 24 = 0 \rightarrow v = 24\).
15. Скорость \(v=0\) не подходит, так как теплоход не двигался бы.
16. Следовательно, собственная скорость теплохода равна 24 км/ч.
17. Проверка:
18. Время по течению: \(\frac{108}{24+3} = \frac{108}{27} = 4\) часа.
19. Время против течения: \(\frac{84}{24-3} = \frac{84}{21} = 4\) часа.
20. Общее время: \(4 + 4 = 8\) часов. Условие выполняется.

Ответ: 24 км/ч.