10. Прямые т и п параллельны. Найдите 42, если 21=55°, 23=59°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как прямые \( m \) и \( n \) параллельны, то угол 1 и угол 3 — накрест лежащие. Если бы они были равны, то прямые были бы параллельны.

Однако, в задании дано, что \( \angle 1 = 55^{\circ} \) и \( \angle 3 = 59^{\circ} \), что противоречит условию параллельности. Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей.

Если \( \angle 1 = 55^{\circ} \) и \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, то \( \angle 2 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

Если \( \angle 3 = 59^{\circ} \) и \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( m \) и \( n \), то \( \angle 2 = \angle 3 = 59^{\circ} \).

Так как условие задачи содержит противоречие ( \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) должны быть равны, если \( m \parallel n \)), то задача не имеет решения в исходной формулировке. Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — односторонние при параллельных прямых \( m \) и \( n \).

Тогда \( \angle 1 = 55^{\circ} \) и \( \angle 3 = 59^{\circ} \). Если \( m \parallel n \), то \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, а значит, должны быть равны. Так как \( 55^{\circ} \neq 59^{\circ} \), то прямые \( m \) и \( n \) не параллельны.

Если принять, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - это любые углы, а \( m \parallel n \), и нам нужно найти \( \angle 2 \), то:

Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

Угол, соответственный \( \angle 3 \), равен \( 59^{\circ} \).

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, то \( \angle 2 = 59^{\circ} \). Это возможно, если \( \angle 3 \) — это не тот угол, который изображен.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( m \) и \( n \).

\( \angle 1 = 55^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

Тогда \( \angle 2 \) равен \( 125^{\circ} \).

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) накрест лежащие, то \( \angle 2 = \angle 3 \). В этом случае \( \angle 2 = 59^{\circ} \).

Исходя из рисунка, \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, но они не равны, что противоречит условию \( m \parallel n \).

Если предположить, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 3 \) — накрест лежащий с \( \angle 2 \), то \( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \) и \( \angle 2 = \angle 3 = 59^{\circ} \). Это противоречие.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — соответственные, тогда \( \angle 1 = \angle 3 \) (55=59), что неверно.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние, то \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \). \( 55^{\circ} + \angle 2 = 180^{\circ} \), \( \angle 2 = 125^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) на рисунке не связан напрямую с \( \angle 2 \) при параллельности \( m \) и \( n \).

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — односторонние, то \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( \angle 2 + 59^{\circ} = 180^{\circ} \), \( \angle 2 = 121^{\circ} \). При этом \( \angle 1 \) должен быть равен \( \angle 2 \) (соответственные), что 55=121 — неверно.

Наиболее вероятная интерпретация, учитывая рисунок, это что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, а \( \angle 3 \) — накрест лежащий с \( \angle 2 \). В этом случае \( \angle 2 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \). Тогда \( \angle 3 \) должен быть равен \( 125^{\circ} \), но дано \( 59^{\circ} \). Это противоречие.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — односторонние, то \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \), \( 55^{\circ} + 59^{\circ} = 114^{\circ} \). Это не 180, значит \( m \) и \( n \) не параллельны.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, то \( \angle 1 = \angle 3 \). \( 55^{\circ} = 59^{\circ} \), что неверно. Значит \( m \) и \( n \) не параллельны.

Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, то \( \angle 2 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) не имеет отношения к \( \angle 2 \) в контексте параллельности.

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, то \( \angle 2 = \angle 3 = 59^{\circ} \). Тогда \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние, \( 55^{\circ} + 59^{\circ} = 114^{\circ} \), что не 180. Значит \( m \) и \( n \) не параллельны.

Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — это углы, которые образуются при пересечении секущей с прямой \( m \), а \( \angle 2 \) — это угол, образованный пересечением секущей с прямой \( n \) и который равен \( \angle 3 \) как накрест лежащий.

Если \( \angle 1 = 55^{\circ} \) и \( \angle 3 = 59^{\circ} \) и \( m \parallel n \), то \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) не могут быть накрест лежащими, так как \( 55^{\circ} \neq 59^{\circ} \). Также \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) не могут быть односторонними, так как \( 55^{\circ} + 59^{\circ} \neq 180^{\circ} \).

Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие, то \( \angle 2 = \angle 3 = 59^{\circ} \).

Ответ: 59°