13. Найти углы тупоугольного равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2: 5.

Решение:

В тупоугольном равнобедренном треугольнике один угол тупой (больше 90°), а два других — острые.

Возможны два случая соотношения углов 2:5:

Случай 1: Относятся два острых угла.

Пусть острые углы равны 2x и 5x. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то эти два угла являются углами при основании. Третий угол (вершинный) будет тупым.

2x + 2x + 5x = 180° (сумма углов треугольника)

9x = 180°

x = 20°

Углы: 2 * 20° = 40°, 2 * 20° = 40°, 5 * 20° = 100°.

В этом случае есть тупой угол (100°), и два острых (40°, 40°). Это соответствует условию.

Случай 2: Относятся тупой угол и один острый.

Пусть углы равны 2x и 5x.

Подслучай 2а: 2x - тупой, 5x - острый (невозможно, т.к. тупой угол больше острого).

Подслучай 2б: 5x - тупой, 2x - острый.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, возможны варианты:

Вариант 1: Два угла по 2x, один 5x.

2x + 2x + 5x = 180°

9x = 180°

x = 20°

Углы: 40°, 40°, 100°. (Этот вариант уже рассмотрен в Случае 1).

Вариант 2: Один угол 5x, два угла по 2x (невозможно, т.к. 5x должен быть тупым).

Вариант 3: Один угол 2x, два угла по 5x.

2x + 5x + 5x = 180°

12x = 180°

x = 15°

Углы: 2 * 15° = 30°, 5 * 15° = 75°, 5 * 15° = 75°.

В этом случае все углы острые, что противоречит условию тупоугольного треугольника.

Вывод: Единственный вариант, удовлетворяющий условию, это когда острые углы относятся как 2:5, а третий угол тупой.

Ответ: 40°, 40°, 100°