10. Один из внешних углов треугольника равен 36°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1 : 2. Найдите наибольший из них.

Решение:

Пусть внешний угол равен \( \alpha = 36^{\circ} \).

Два внутренних угла, не смежных с ним, обозначим как \( x \) и \( 2x \).

Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним, углов.

\[ x + 2x = 36^{\circ} \]

\[ 3x = 36^{\circ} \]

\[ x = \frac{36^{\circ}}{3} = 12^{\circ} \]

Тогда углы равны \( x = 12^{\circ} \) и \( 2x = 2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ} \).

Наибольший из этих двух углов — \( 24^{\circ} \).

Ответ: наибольший угол равен \( 24^{\circ} \).