10. Найдите, при каких значениях числа а функция y=x³+5x²+ax - 2 возрастает для всех действительных.

Решение:

1. Условие возрастания функции: Функция возрастает, если ее производная неотрицательна, то есть $$y' ≥ 0$$ для всех $$x$$.
2. Найдем производную: $$y' = (x^3 + 5x^2 + ax - 2)' = 3x^2 + 10x + a$$.
3. Условие неотрицательности квадратного трехчлена: Квадратный трехчлен $$Ax^2 + Bx + C$$ неотрицателен для всех $$x$$ тогда и только тогда, когда $$A > 0$$ и дискриминант $$D ≤ 0$$.
4. Применим условие к нашей производной: В нашем случае $$A=3$$, $$B=10$$, $$C=a$$. Так как $$A=3 > 0$$, нам нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен: $$D = B^2 - 4AC ≤ 0$$.
5. Вычислим дискриминант: $$D = 10^2 - 4 · 3 · a = 100 - 12a$$.
6. Решим неравенство: $$100 - 12a ≤ 0 \implies 100 ≤ 12a \implies a ≥ \frac{100}{12} \implies a ≥ \frac{25}{3}$$.

Ответ: $$a ≥ \frac{25}{3}$$