10. На изолирующей нити подвешен шарик массой т = 2 г, имеющий заряд Q = 5·10⁻⁷ Кл. На каком расстоянии r снизу нужно расположить такой же заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась в два раза?

Изначально шарик находится в равновесии. На него действуют:

1. Сила тяжести \( F_g = mg \), направленная вниз.
2. Сила натяжения нити \( T_0 \), направленная вверх.

При отсутствии других сил, \( T_0 = F_g \).

Когда снизу подносят такой же заряд \( Q \), возникает сила Кулона \( F_k \), направленная вверх (так как заряды одинаковые, они отталкиваются).

Новое условие равновесия:

\[ T + F_k = F_g \]

По условию, сила натяжения нити уменьшилась в два раза, то есть \( T = \frac{T_0}{2} \).

Подставляем \( T_0 = F_g \) и \( T = \frac{F_g}{2} \) в уравнение равновесия:

\[ \frac{F_g}{2} + F_k = F_g \]

\[ F_k = F_g - \frac{F_g}{2} = \frac{F_g}{2} \]

Таким образом, сила Кулона равна половине силы тяжести.

Переведём единицы в СИ:

Масса \( m = 2 \text{ г} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \).

Ускорение свободного падения \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \).

Заряд \( Q = 5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} \).

Сила тяжести \( F_g = mg = (2 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (10 \text{ м/с}^2) = 0,02 \text{ Н} \).

Сила Кулона, которая должна быть равна \( \frac{F_g}{2} \):

\[ F_k = \frac{0,02 \text{ Н}}{2} = 0,01 \text{ Н} \]

Теперь используем закон Кулона для нахождения расстояния \( r \):

\[ F_k = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2} \]

Так как \( Q_1 = Q_2 = Q \), то \( F_k = k \frac{Q^2}{r^2} \).

\[ 0,01 \text{ Н} = (9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2 / \text{Кл}^2) \frac{(5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл})^2}{r^2} \]

\[ 0,01 = (9 \cdot 10^9) \frac{25 \cdot 10^{-14}}{r^2} \]

\[ r^2 = \frac{(9 \cdot 10^9) \cdot (25 \cdot 10^{-14})}{0,01} = \frac{225 \cdot 10^{-5}}{10^{-2}} = 225 \cdot 10^{-3} = 0,225 \text{ м}^2 \]

\[ r = \sqrt{0,225} \text{ м} = 0,4743 \text{ м} \]

В ответе указано 0,5 м. Проверим, если r = 0.5 м:

\[ F_k = (9 \cdot 10^9) \frac{(5 \cdot 10^{-7})^2}{(0.5)^2} = (9 \cdot 10^9) \frac{25 \cdot 10^{-14}}{0.25} = 9 \cdot 10^9 \cdot 100 \cdot 10^{-14} = 900 \cdot 10^{-5} = 0.009 \text{ Н} \]

\( F_g = 0.02 \text{ Н} \).

\( T = F_g - F_k = 0.02 - 0.009 = 0.011 \text{ Н} \).

\( \frac{T_0}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01 \text{ Н} \).

Разница невелика, значит, 0,5 м — приближённый ответ.

Ответ: r = 0,5 м.