10. К пятизначному натуральному числу применяется следующий алгоритм. 1. Находится сумма первых трёх цифр слева. 2. Находится сумма двух оставшихся цифр. 3. Получившиеся суммы записываются друг за другом в порядке возрастания (неубывания). Пример работы алгоритма для числа 34567: 3+4+5=12, 6+7=13, 1213. Укажите наибольшее пятизначное число, состоящее из разных цифр, в результате применения к которому данного алгоритма получится число 417.

Анализ:

Алгоритм преобразует пятизначное число abcde в число, состоящее из двух сумм: (a+b+c)(d+e), причем первая сумма (a+b+c) должна быть меньше или равна второй сумме (d+e). Нам дано число 417, которое получается из исходного числа. Это означает, что:

• Первая сумма (a+b+c) = 4
• Вторая сумма (d+e) = 17

Или наоборот, но по условию суммы записываются в порядке возрастания, значит, первая сумма меньше или равна второй. Поэтому первый вариант подходит.

Условие:

• a+b+c = 4
• d+e = 17
• Все цифры a, b, c, d, e разные.
• a не равно 0 (число пятизначное).
• Нужно найти наибольшее такое число abcde.

Решение:

Чтобы число abcde было наибольшим, нужно сделать старшие разряды (a, потом b, потом c) как можно больше.

Для d+e = 17:

Наибольшие разные цифры, дающие в сумме 17: 9 и 8. Так как d должно быть больше, ставим d=9, e=8. (Если бы d было меньше, то число было бы меньше). Значит, d=9, e=8.

Для a+b+c = 4:

Теперь нужно подобрать a, b, c так, чтобы их сумма была 4, цифры были разные, a не было 0, и цифры a, b, c не пересекались с 9 и 8. Самые большие цифры для a, b, c, которые в сумме дают 4:

Если a=3, то b+c = 1. Наибольшее b — 1, тогда c = 0. Цифры: 3, 1, 0. Эти цифры не пересекаются с 9, 8. Получаем число 31098.

Проверим, что 31098 — это наибольшее число:

Если бы мы взяли a=4, то b+c = 0, что возможно только если b=0, c=0, но цифры должны быть разные.

Если бы мы взяли a=2, то b+c = 2. Наибольшее b — 2, тогда c=0. Но цифра 2 уже занята, если бы мы попробовали b=1, то c=1, но цифры должны быть разные. Поэтому a=3 — наилучший вариант.

Проверка:

Число: 31098

a+b+c = 3+1+0 = 4

d+e = 9+8 = 17

Суммы: 4 и 17. В порядке возрастания: 417. Все цифры (3, 1, 0, 9, 8) разные.

Ответ: 31098