10. (Дополнительная задача.) Какое наименьшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были острыми?

Два луча образуют вокруг общей точки два угла, сумма которых равна 360°. Если оба угла острые, их сумма должна быть меньше 180°, что невозможно. Поэтому двух лучей недостаточно.

Трёх лучей достаточно: расположим их так, чтобы последовательные углы вокруг точки были по 120°? Это не острые, поэтому проверим условие: при трёх лучах сумма трёх углов вокруг точки равна 360°, и все они не могут быть меньше 90° (сумма была бы меньше 270°). Следовательно, необходимо как минимум четыре луча. Четыре луча, направленные под углами 0°, 45°, 90° и 135° к одной оси, дают соседние углы 45°, 45°, 45° и 225°; последний не острый. В общем случае соседние углы вокруг точки имеют сумму 360°, поэтому для n острых углов требуется 360° < 90°n, то есть n > 4. При пяти лучах, равномерно расположенных вокруг точки, каждый соседний угол равен 72°.

Ответ: 5 лучей.