10. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Пусть \(M\) — середина гипотенузы \(AB\).

1. Точка \(M\) является центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника.
2. Поэтому расстояния от неё до всех вершин равны: \(MA=MB=MC\).
3. Так как \(M\) — середина гипотенузы, \(MA=MB=\frac{AB}{2}\).

Следовательно, медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы:

\(MC=\frac{AB}{2}\).