10. Четырёхугольник KLMN вписан в окружность. Углы K, L и M относятся как 4:7:8. Найдите величину угла N.

Решение:

• Четырёхугольник KLMN вписан в окружность.
• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
• ∠K + ∠M = 180°
• ∠L + ∠N = 180°
• Пусть углы K, L и M относятся как 4x, 7x и 8x.
• 4x + 8x = 180° (так как K и M — противоположные углы).
• 12x = 180°.
• x = 180° / 12 = 15°.
• Угол K = 4 * 15° = 60°.
• Угол L = 7 * 15° = 105°.
• Угол M = 8 * 15° = 120°.
• Теперь найдем угол N, используя свойство противоположных углов:
• ∠L + ∠N = 180°.
• 105° + ∠N = 180°.
• ∠N = 180° - 105° = 75°.
• Проверка: Сумма углов четырёхугольника: ∠K + ∠L + ∠M + ∠N = 60° + 105° + 120° + 75° = 360°.

Ответ: 75°