10. Антон гуляет по своему дачному посёлку. Он выходит из точки S и на каждой развилке с равными шансами выбирает следующую дорожку. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Антон: а) придёт к библиотеке; б) не окажется ни в роще, ни на детской площадке.

Решение:

Всего исходов из точки S:

Из S есть 3 пути. Каждый путь имеет вероятность \( \frac{1}{3} \).

а) Антон придёт к библиотеке.

Путь к библиотеке: S → Церковь → Библиотека.

Вероятность пойти к церкви из S: \( P(\text{к церкви}) = \frac{1}{3} \).

Из церкви есть 2 пути: к библиотеке и к школе. Вероятность пойти к библиотеке из церкви: \( P(\text{к библиотеке | к церкви}) = \frac{1}{2} \).

Общая вероятность прийти к библиотеке: \( P(\text{библиотека}) = P(\text{к церкви}) \times P(\text{к библиотеке | к церкви}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

б) Антон не окажется ни в роще, ни на детской площадке.

Это означает, что Антон должен прийти либо к библиотеке, либо к школе.

Мы уже нашли вероятность прийти к библиотеке: \( P(\text{библиотека}) = \frac{1}{6} \).

Теперь найдём вероятность прийти к школе.

Есть два пути к школе:

1. S → Церковь → Школа. Вероятность: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
2. S → Школа. Вероятность: \( \frac{1}{3} \).

Общая вероятность прийти к школе: \( P(\text{школа}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Вероятность оказаться ни в роще, ни на детской площадке равна сумме вероятностей прийти к библиотеке или к школе:

\( P(\text{не роща, не детская площадка}) = P(\text{библиотека}) + P(\text{школа}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{6} \); б) \( \frac{2}{3} \).