10.8 Производительность первой трубы в минуту на 5 литров больше, чем второй. Какой объем воды (в литрах) в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 150 литров она заполняет на 5 минуты быстрее, чем вторая труба заполняет точно такой же резервуар?

Решение:

Пусть \( x \) л/мин — производительность второй трубы. Тогда производительность первой трубы равна \( x + 5 \) л/мин.

Время заполнения резервуара второй трубой: \( t_2 = \frac{150}{x} \) мин.

Время заполнения резервуара первой трубой: \( t_1 = \frac{150}{x+5} \) мин.

Первая труба заполняет резервуар на 5 минут быстрее, чем вторая:

\( t_2 = t_1 + 5 \)

\( \frac{150}{x} = \frac{150}{x+5} + 5 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x+5) \):

\( 150(x+5) = 150x + 5x(x+5) \)

\( 150x + 750 = 150x + 5x^2 + 25x \)

\( 750 = 5x^2 + 25x \)

\( 5x^2 + 25x - 750 = 0 \)

Разделим на 5:

\( x^2 + 5x - 150 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \)

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 25}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \]

Так как производительность трубы не может быть отрицательной, выбираем \( x = 10 \) л/мин — это производительность второй трубы.

Производительность первой трубы: \( x + 5 = 10 + 5 = 15 \) л/мин.

Ответ: 15 л/мин.