10.11 Имеются два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй - 50 кг водного раствора некоторого вещества различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 60% некоторого вещества. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 55% некоторого вещества. Сколько килограммов некоторого вещества содержится в первом сосуде?

Решение:

Пусть \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы первого и второго растворов соответственно. \( m_1 = 40 \) кг, \( m_2 = 50 \) кг.

Пусть \( c_1 \) и \( c_2 \) — концентрации вещества в первом и втором растворах (в долях единицы).

Масса вещества в первом сосуде: \( m_{в-ва1} = m_1 · c_1 = 40c_1 \).

Масса вещества во втором сосуде: \( m_{в-ва2} = m_2 · c_2 = 50c_2 \).

Условие 1: Если смешать \( 40 \) кг первого раствора и \( 50 \) кг второго, получится раствор, содержащий \( 60\% \) вещества.

Общая масса смешанного раствора: \( m_{общ1} = m_1 + m_2 = 40 + 50 = 90 \) кг.

Масса вещества в смешанном растворе: \( m_{в-ва1} + m_{в-ва2} = 40c_1 + 50c_2 \).

Концентрация вещества в смешанном растворе: \( 0.60 \).

\( \frac{40c_1 + 50c_2}{90} = 0.60 \)

\( 40c_1 + 50c_2 = 0.60 · 90 = 54 \)

Разделим на 10:

\( 4c_1 + 5c_2 = 5.4 \) (Уравнение 1)

Условие 2: Если смешать равные массы растворов (например, по \( x \) кг каждого), то получится раствор, содержащий \( 55\% \) вещества.

Масса вещества в \( x \) кг первого раствора: \( x · c_1 \).

Масса вещества в \( x \) кг второго раствора: \( x · c_2 \).

Общая масса смешанного раствора: \( x + x = 2x \).

Масса вещества в смешанном растворе: \( xc_1 + xc_2 \).

Концентрация вещества в смешанном растворе: \( 0.55 \).

\( \frac{xc_1 + xc_2}{2x} = 0.55 \)

\( \frac{x(c_1 + c_2)}{2x} = 0.55 \)

\( \frac{c_1 + c_2}{2} = 0.55 \)

\( c_1 + c_2 = 0.55 · 2 = 1.1 \)

\( c_2 = 1.1 - c_1 \) (Уравнение 2)

Подставим Уравнение 2 в Уравнение 1:

\( 4c_1 + 5(1.1 - c_1) = 5.4 \)

\( 4c_1 + 5.5 - 5c_1 = 5.4 \)

\( -c_1 = 5.4 - 5.5 \)

\( -c_1 = -0.1 \)

\( c_1 = 0.1 \)

Теперь найдем \( c_2 \):

\( c_2 = 1.1 - c_1 = 1.1 - 0.1 = 1.0 \)

Концентрация первого раствора \( c_1 = 0.1 \) (т.е. \( 10\% \)).

Концентрация второго раствора \( c_2 = 1.0 \) (т.е. \( 100\% \)).

Вопрос: Сколько килограммов некоторого вещества содержится в первом сосуде?

Масса вещества в первом сосуде: \( m_{в-ва1} = m_1 · c_1 = 40 \text{ кг} · 0.1 = 4 \) кг.

Ответ: 4 кг.