10. (3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза AB равна 18 см. ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC = AB \sin(\angle CBA) = 18 \sin(30°) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.

\( BC = AB \cos(\angle CBA) = 18 \cos(30°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В нем \( \angle CDB = 90° \) (так как CD — высота).

Угол \( \angle CBD = \angle CBA = 30° \).
Гипотенуза в треугольнике BCD — это катет BC из треугольника ABC.
Найдем отрезок BD, который является катетом, прилежащим к углу \( 30° \) в треугольнике BCD:

\( BD = BC \cos(\angle CBD) = 9\sqrt{3} \cos(30°) = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 \) см.

Ответ: BD = 13,5 см.