1. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB, и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите углы ДABC, если ВМС = 140°.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. \( \angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180° \).
3. \( \angle MBC + \angle MCB + 140° = 180° \).
4. \( \angle MBC + \angle MCB = 180° - 140° = 40° \).
5. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \).
6. \( \angle MBC \) и \( \angle ABC \) — это один и тот же угол, как и \( \angle MCB \) и \( \angle ACB \), поскольку BM и CM — высоты, значит, они лежат на сторонах AB и AC.
7. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{40°}{2} = 20° \).
8. Найдем угол \( \angle BAC \). Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
9. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
10. \( \angle BAC + 20° + 20° = 180° \).
11. \( \angle BAC + 40° = 180° \).
12. \( \angle BAC = 180° - 40° = 140° \).

Ответ: углы треугольника ABC равны 20°, 20°, 140°.