1. Выполните действия $$ \frac{9x^2 - y^2}{x} \cdot \left( \frac{x}{3x+y} - \frac{y}{x} \right) $$

Решение:

Для выполнения действий сначала приведем разность дробей в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{x}{3x+y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x - y \cdot (3x+y)}{(3x+y)x} = \frac{x^2 - 3xy - y^2}{x(3x+y)} $$

Теперь умножим первое выражение на полученную дробь:

$$ \frac{9x^2 - y^2}{x} \cdot \frac{x^2 - 3xy - y^2}{x(3x+y)} $$

Разложим числитель первой дроби на множители как разность квадратов: \( 9x^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y) \).

$$ \frac{(3x-y)(3x+y)}{x} \cdot \frac{x^2 - 3xy - y^2}{x(3x+y)} $$

Сократим \( (3x+y) \) в числителе и знаменателе:

$$ \frac{(3x-y)}{x} \cdot \frac{x^2 - 3xy - y^2}{x} $$

Перемножим оставшиеся дроби:

$$ \frac{(3x-y)(x^2 - 3xy - y^2)}{x^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{3x(x^2 - 3xy - y^2) - y(x^2 - 3xy - y^2)}{x^2} = \frac{3x^3 - 9x^2y - 3xy^2 - yx^2 + 3xy^2 + y^3}{x^2} $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{3x^3 - 10x^2y + y^3}{x^2} $$

Ответ: $$\frac{3x^3 - 10x^2y + y^3}{x^2}$$.