1. Вычислите производные:

Решение:

1. a) \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - x^3 + 2x^2 + 3x + 1) = 8x^3 - 3x^2 + 4x + 3 \)
2. б) \( f(x) = (3 - 2x^2)(4 + x^2) = 12 + 3x^2 - 8x^2 - 2x^4 = 12 - 5x^2 - 2x^4 \)
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(12 - 5x^2 - 2x^4) = -10x - 8x^3 \)
3. в) \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1} \)
   \( f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \)
4. г) \( y = \frac{x}{\cos x} \)
   \( y' = \frac{1 \cdot \cos x - x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \)

Ответ: а) 8x³ - 3x² + 4x + 3; б) -8x³ - 10x; в) \(\frac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}\); г) \(\frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x}\).