1. Решите неравенство 8x²-2 —— 3-x > 0.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{8x^2 - 2}{3 - x} \). Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) > 0 \).

Приравняем числитель к нулю:

\( 8x^2 - 2 = 0 \)

\( 8x^2 = 2 \)

\( x^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \)

\( x_1 = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{1}{2} \).

Приравняем знаменатель к нулю:

\( 3 - x = 0 \)

\( x = 3 \).

Отметим найденные точки на числовой оси: \( -\frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \), \( 3 \). Они разбивают ось на интервалы: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}, 3) \), \( (3, \infty) \).

Проверим знак функции на каждом интервале:

• На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \), возьмём \( x = -1 \): \( f(-1) = \frac{8(-1)^2 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8 - 2}{3 + 1} = \frac{6}{4} > 0 \).
• На интервале \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \), возьмём \( x = 0 \): \( f(0) = \frac{8(0)^2 - 2}{3 - 0} = \frac{-2}{3} < 0 \).
• На интервале \( (\frac{1}{2}, 3) \), возьмём \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{8(1)^2 - 2}{3 - 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 > 0 \).
• На интервале \( (3, \infty) \), возьмём \( x = 4 \): \( f(4) = \frac{8(4)^2 - 2}{3 - 4} = \frac{8(16) - 2}{-1} = \frac{128 - 2}{-1} = -126 < 0 \).

Нам нужен интервал, где \( f(x) > 0 \). Это интервалы \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и \( (\frac{1}{2}, 3) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 3) \).