1) Объем куба равен 36. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

1. Находим ребро куба (a): Объем куба V_cube = a³. Так как V_cube = 36, то a = \( \sqrt[3]{36} \).
2. Площадь основания пирамиды (S_base): Основание пирамиды — грань куба, поэтому S_base = a² = \( (\sqrt[3]{36})^{2} \) = \( 36^{2/3} \).
3. Высота пирамиды (h): Вершина пирамиды находится в центре куба, а основание — грань куба. Следовательно, высота пирамиды равна половине ребра куба: h = a/2 = \( \sqrt[3]{36} / 2 \).
4. Вычисляем объем пирамиды (V_pyramid): V_pyramid = (1/3) * S_base * h = (1/3) * \( 36^{2/3} \) * \( \frac{\sqrt[3]{36}}{2} \) = (1/6) * \( 36^{2/3} \) * \( 36^{1/3} \) = (1/6) * \( 36^{(2/3 + 1/3)} \) = (1/6) * 36 = 6.

Ответ: 6